Александр Будкин начал свою профессиональную карьеру в 2003 году в «Тракторе», который в то время выступал в Высшей лиге. Следующий сезон Александр провёл в саратовском «Кристалле», а в 2005 году Будкин дебютировал в Суперлиге в составе родного московского «Динамо», где выступал до 2009 года, когда вновь вернулся в «Трактор». Сезон 2010-11 Александр должен был начать в московском «Динамо», однако, перед самым началом турнира он подписал контракт с череповецкой «Северсталью», где провёл лишь 6 игр, после чего был обменян в московский «Спартак».