Воспитанник рижской футбольной школы. Продолжительное время защищал цвета рижского «Сконто» и его дочерних клубов. В сентябре 2000 года был приобретён клубом первого английского дивизиона «Кристал Пэлас» за 600 000 £. Играя за лондонский клуб (вместе со своим партнёром по сборной Андреем Рубиным), Колинько не отличался особой стабильностью, но, ввиду вратарской проблемы в команде, надолго не выпадал из основы. В сезоне 2002/03 между тренером «Кристал Пэласа» Тревором Фрэнсисом и Александром Колинько произошёл конфликт, в результате которого дело даже дошло до рукоприкладства. После этого происшествия Колинько, имевший соглашение с клубом до конца сезона, решил сменить клуб, предпочитая перейти в российскую Премьер-лигу. В числе прочих интерес к вратарю проявлял московский «Спартак», но руководство «Кристал Пэласа» не пожелало отпускать Колинько до окончания сезона. Летом 2003 года Колинько стал игроком «Ростова». В «Спартак» Колинько так и не попал, даже с приходом в команду в 2004 году главного тренера сборной Латвии Александра Старкова. В самом начале 2005 года Александр стал игроком казанского «Рубина», уйдя из «Ростова» отчасти из-за не совсем хорошего микроклимата в команде. Соглашение с казанцами было заключено сроком на 2 года, позже было продлено. Контракт с «Рубином» действовал до конца 2009 года. В конце 2007 года «Рубин», приобретя новых вратарей, дал понять, что не рассчитывает на услуги Колинько. Интерес к выставленному на трансфер вратарю проявляли английский «Фулхэм» и «Луч-Энергия». Уже позже, в феврале 2008 года, когда сезон переходов в большинстве стран Европе был уже закрыт, прошла информация, что он может вернуться в «Рубин», но на сезон 2008 Колинько заявлен не был. В марте 2009 года подписал контракт на 3 месяца со скромным латвийским клубом «Олимп/РФШ». В мае 2009 года подписал контракт с бухарестским «Динамо» сроком на один месяц с возможностью продления. 26 августа 2009 года заключил контракт с «Вентспилсом» до конца 2009 года. В феврале 2010 года прибыл на просмотр в запорожский «Металлург». 27 августа 2010 года заявлен за «Спартак-Нальчик». 18 февраля 2011 года подписал контракт с калининградской «Балтикой» на 1,5 года.